Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, точка F — середина CD. Вычислите длины сторон параллелограмма, если OF = 5 см, а Р ABCD = 32 см.
Ответ от учителя
Из условия задачи известно, что диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, а точка F является серединой стороны CD. Обозначим длину стороны AB через a, а длину стороны BC через b.
Так как диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, то каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Поэтому, длина диагонали AC равна длине диагонали BD и равна половине периметра параллелограмма:
AC = BD = Р ABCD / 2 = 32 / 2 = 16 см
Также из условия задачи известно, что точка F является серединой стороны CD. Поэтому, длина стороны CD равна 2OF:
CD = 2OF = 2 * 5 = 10 см
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин сторон AB и BC. Рассмотрим треугольник AOF:
AO^2 + OF^2 = AF^2
Так как точка F является серединой стороны CD, то OF = 5 см, а длина отрезка AF равна половине длины диагонали AC:
AF = AC / 2 = 16 / 2 = 8 см
Также известно, что точка О является точкой пересечения диагоналей, поэтому AO = CO и BO = DO. Обозначим длину отрезка AO (и CO) через x, а длину отрезка BO (и DO) через y. Тогда:
AO = CO = x
BO = DO = y
Таким образом, мы можем записать уравнение для длины стороны AB:
AB = 2AO = 2x
Теперь мы можем записать уравнение для длины стороны BC:
BC = CD — BD = CD — 2CO = 10 — 2x
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значений x и y. Рассмотрим треугольник AOF:
x^2 + 5^2 = 8^2
x^2 = 8^2 — 5^2 = 39
x = sqrt(39) ≈ 6.24 см
Таким образом, длина стороны AB равна:
AB = 2x ≈ 12.48 см
Аналогично, рассмотрим треугольник BOD:
y^2 + 5^2 = 16^2
y^2 = 16^2 — 5^2 = 231
y = sqrt(231) ≈ 15.20 см
Таким образом, длина стороны BC равна:
BC = 10 — 2x ≈ 3.52 см
Итак, мы нашли длины всех сторон параллелограмма:
AB ≈ 12.48 см
BC ≈ 3.52 см
CD = 10 см
AD = BC = 3.52 см
Ответ: длины сторон параллелограмма ABCD равны AB ≈ 12.48 см, BC ≈ 3.52 см, CD = 10 см, AD = BC ≈ 3.52 см.
