Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, точка М делит отрезок AD в отношении 1: 2, считая от точки А. Разложите по векторам x = AD и у = АВ вектор: АС; АО; AM; MC; DA + CO.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся следующие свойства векторов:
1. Векторное свойство параллелограмма: векторная сумма двух сторон параллелограмма равна векторной сумме его диагоналей.
2. Свойство разделения отрезка в заданном отношении: точка, делящая отрезок в заданном отношении, может быть найдена как линейная комбинация его концов с коэффициентами, соответствующими заданному отношению.
3. Свойство суммы векторов: векторная сумма нескольких векторов может быть найдена как их последовательное сложение.
Теперь рассмотрим каждый вектор по отдельности:
1. Вектор AC можно разложить на векторы AB и BC, так как AC является диагональю параллелограмма ABCD. Используя векторное свойство параллелограмма, получаем:
AC = AB + BC
2. Вектор AO является диагональю параллелограмма ABCD, поэтому его можно разложить на векторы AB и OD. Вектор OD равен вектору BC, так как они являются диагоналями параллелограмма ABCD. Используя векторное свойство параллелограмма, получаем:
AO = AB + OD = AB + BC
3. Вектор AM можно найти, используя свойство разделения отрезка в заданном отношении. Пусть точка N делит отрезок AB в отношении 1:2, считая от точки A. Тогда точка M может быть найдена как линейная комбинация точек A и N:
M = (1/3)A + (2/3)N
Вектор AN равен вектору AB, поэтому:
M = (1/3)A + (2/3)AB
4. Вектор MC можно найти, используя свойство разделения отрезка в заданном отношении. Точка P делит отрезок BC в отношении 2:1, считая от точки B. Тогда точка C может быть найдена как линейная комбинация точек B и P:
C = (2/3)B + (1/3)P
Вектор BP равен вектору AB, поэтому:
C = (2/3)AB + (1/3)B
Вектор MC равен разности векторов C и M:
MC = C — M = (2/3)AB + (1/3)B — (1/3)A — (2/3)AB = (1/3)B — (1/3)A
5. Вектор DA + CO можно разложить на векторы AD, CO и OA. Вектор OA равен вектору AB, поэтому:
DA + CO = AD + CO + OA = AD + BC + AB
Используя векторное свойство параллелограмма, получаем:
DA + CO = AC + AD = DC
Таким образом, мы разложили все векторы по векторам x = AD и у = АВ.
