Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точки M и N — середины отрезков OA и OC. Докажите, что углы MBN и MDN равны.
Ответ от учителя
Рассмотрим параллелограмм ABCD и его диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. Так как AC и BD являются диагоналями параллелограмма, то они делят его на четыре треугольника: AOB, BOC, COD и DOA.
Точки M и N являются серединами отрезков OA и OC соответственно. Значит, OM = MA и ON = NC. Также, так как AC и BD пересекаются в точке O, то OM и ON являются медианами треугольников AOC и BOD соответственно.
Из свойств медиан треугольника следует, что OM и ON делят углы AOC и BOD пополам. То есть, угол MON равен половине угла AOC, а угол MOB равен половине угла AOB.
Так как параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, равные и параллельные, то углы AOB и COD равны, а углы BOC и DOA также равны. Значит, углы MOB и NOD равны.
Теперь рассмотрим треугольники MBN и MDN. Они имеют общую сторону ND и равные углы NDM и NBM (так как углы MOB и NOD равны). Значит, по признаку равенства треугольников, углы MBN и MDN равны.
Таким образом, мы доказали, что углы MBN и MDN равны, используя свойства медиан треугольника и параллелограмма.
