Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, Точки М, N, К и Р — середины отрезков АО, ВО, СО и DO Докажите, что четырёхугольник MNKP— параллелограмм
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.
1. Параллельность сторон MN и KP:
Рассмотрим треугольники AOM и COD. Они равны по двум сторонам (AO=OC, OM=OD), так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся на равные отрезки. Следовательно, треугольники AOM и COD равны по третьей стороне (угол O равен самому себе). Значит, у них соответствующие углы равны: ∠AOM=∠COD.
Также заметим, что ∠AOM=∠MON (так как М — середина АО), а ∠COD=∠COP (так как Р — середина DO). Следовательно, ∠MON=∠COP.
Теперь рассмотрим треугольники BON и DOP. Они также равны по двум сторонам (BO=OD, ON=OP), так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся на равные отрезки. Следовательно, треугольники BON и DOP равны по третьей стороне (угол O равен самому себе). Значит, у них соответствующие углы равны: ∠BON=∠DOP.
Также заметим, что ∠BON=∠NOK (так как К — середина СО), а ∠DOP=∠POK (так как Р — середина DO). Следовательно, ∠NOK=∠POK.
Из этих равенств углов следует, что ∠MON=∠COP=∠NOK=∠POK. Значит, прямые MN и KP параллельны, так как соответствующие углы при параллельных прямых равны.
2. Равенство сторон MN и KP:
Мы уже заметили, что М и Р — середины диагоналей АО и DO. Значит, МР || AD и МР = AD/2.
Также заметим, что М и К — середины диагоналей АС и BD. Значит, МК || BC и МК = BC/2.
Из этих равенств следует, что МР || МК и МР = МК. Значит, стороны MN и KP равны.
Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны.
