Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке P. Докажите, что для любой точки M имеет место равенство МА +МВ +МС +МD= 4МР
Ответ от учителя
Для доказательства данного равенства воспользуемся свойством параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны.
Пусть точка M лежит внутри параллелограмма ABCD. Тогда проведем через нее прямую, параллельную сторонам параллелограмма, и обозначим точки пересечения этой прямой с сторонами параллелограмма как E, F, G и H (см. рисунок).
Так как стороны параллелограмма параллельны, то углы AEP и CFP равны, а углы BGP и DHM равны. Также углы AEP и BGP, а также CFP и DHM, являются вертикальными углами и равны между собой.
Таким образом, треугольники AEP и BGP, а также CFP и DHM, равны по двум углам и стороне между ними (параллельным сторонам параллелограмма). Следовательно, стороны AE и BG равны, а также стороны CF и DH равны.
Теперь рассмотрим треугольники AEP и CFP. Они равны по двум углам и стороне между ними (параллельным сторонам параллелограмма). Следовательно, стороны AP и CP равны.
Аналогично, рассмотрим треугольники BGP и DHM. Они равны по двум углам и стороне между ними (параллельным сторонам параллелограмма). Следовательно, стороны BP и DP равны.
Таким образом, получаем, что точка P является серединой отрезка МР, а также отрезков АС и BD (так как они параллельны и равны). Следовательно, МА + МВ + МС + МD = (МА + МС) + (МВ + МD) = 2МР + 2МР = 4МР.
Таким образом, мы доказали, что для любой точки M внутри параллелограмма ABCD имеет место равенство МА + МВ + МС + МD = 4МР.
