Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD, равные 5 см и 11 см, пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника BCO, если AD = 7 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины сторон треугольника BCO. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Обозначим через h расстояние между параллельными сторонами параллелограмма ABCD. Тогда, так как диагонали пересекаются в точке O, мы можем разбить параллелограмм на два прямоугольных треугольника AOB и COD. В треугольнике AOB длины катетов равны 5 см и h, а в треугольнике COD — 11 см и h. Применяя теорему Пифагора, получаем:
$AB^2 = AO^2 + OB^2 = 5^2 + h^2$
$CD^2 = CO^2 + OD^2 = 11^2 + h^2$
Так как AB = CD (параллелограмм), то
$5^2 + h^2 = 11^2 + h^2$
$6^2 = h^2$
$h = 6$ см
Теперь мы можем найти длины сторон треугольника BCO. Для этого заметим, что треугольник BCO является прямоугольным, так как его один угол (угол BOC) равен 90 градусов (диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом). Тогда:
$BC^2 = BO^2 + OC^2 = (frac{1}{2} AB)^2 + h^2 = (frac{1}{2} cdot 5)^2 + 6^2 = frac{61}{4}$
$CO^2 = OB^2 + BC^2 = (frac{1}{2} CD)^2 + frac{61}{4} = (frac{1}{2} cdot 11)^2 + frac{61}{4} = frac{225}{4}$
$BO = sqrt{BC^2 — (frac{1}{2} CD)^2} = sqrt{frac{61}{4} — (frac{1}{2} cdot 11)^2} = frac{sqrt{15}}{2}$
$OC = sqrt{CO^2 — OB^2} = sqrt{frac{225}{4} — frac{61}{4}} = frac{sqrt{164}}{2} = frac{2sqrt{41}}{2} = sqrt{41}$
Теперь мы можем найти периметр треугольника BCO:
$BC + CO + BO = sqrt{frac{61}{4}} + sqrt{41} + frac{sqrt{15}}{2} approx 14.6$ см
Ответ: периметр треугольника BCO примерно равен 14.6 см.
