Вопрос школьника
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, сторона АВ в 6 раз меньше его диагонали. Периметр треугольника АОВ равен 84 см. Найдите диагональ прямоугольника.
Ответ от учителя
Пусть диагонали прямоугольника ABCD равны AC и BD, а сторона AB равна x. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике AOC:
AC² = AO² + OC²
Аналогично, в треугольнике BOD:
BD² = BO² + OD²
Так как точка O является точкой пересечения диагоналей, то AO = CO и BO = DO. Поэтому:
AC² = 2AO²
BD² = 2BO²
Также из условия задачи известно, что AB = x и AC = 6x. Периметр треугольника AOV равен 84 см, поэтому:
AO + OV + VA = 42
2AO + AV = 42
2AO + sqrt{AO² + AV²} = 42
Решая эту систему уравнений, получаем:
AO = 16
AV = 14
Теперь можем выразить BD через AO и AB:
BD² = 2BO² = 2(AO² + AB²) = 2(16² + x²)
Также известно, что AC² = 2AO² = 72x². Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
72x² = 2(16² + x²)
72x² = 512 + 2x²
70x² = 512
x² = 512/70
Таким образом, диагональ прямоугольника равна:
BD = sqrt{2(16² + x²)} = sqrt{2(16² + 512/70)} ≈ 29.5 см.
