Вопрос школьника
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Вычислите периметр треугольника COD, если CD = 4 см и угол CAD = 30°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины сторон треугольника COD. Для этого воспользуемся теоремой синусов:
$$frac{CD}{sinangle COD} = frac{OD}{sinangle CDO} = frac{OC}{sinangle ODC}$$
Заметим, что угол CAD является внешним по отношению к треугольнику COD, поэтому:
$$angle COD = angle CAD = 30^circ$$
Также заметим, что треугольник AOC является равнобедренным, так как AO и CO являются диагоналями прямоугольника ABCD. Значит, угол OAC равен углу OCA, то есть:
$$angle ODC = angle OAC = frac{180^circ — angle CAD}{2} = 75^circ$$
Теперь можем подставить известные значения в формулу теоремы синусов:
$$frac{4}{sin 30^circ} = frac{OD}{sinangle CDO} = frac{OC}{sin 75^circ}$$
Отсюда находим:
$$OD = 2text{ см} cdot sinangle CDO$$
$$OC = 4text{ см} cdot frac{sin 75^circ}{sin 30^circ} approx 7.32text{ см}$$
Теперь можем найти периметр треугольника COD:
$$P_{COD} = CD + OD + OC = 4text{ см} + 2text{ см} cdot sinangle CDO + 7.32text{ см} approx 11.32text{ см}$$
Ответ: периметр треугольника COD равен примерно 11.32 см.
