Вопрос школьника
Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 46) пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и AOD — равнобедренные.
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольников АОВ и AOD нужно показать, что их боковые стороны равны.
Рассмотрим треугольник АОВ. Он имеет две боковые стороны — АО и ОВ. Так как прямоугольник ABCD является прямоугольником, то его диагонали равны между собой. Значит, АО = ОС. Также, по свойству прямоугольника, угол АОС прямой. Значит, треугольник АОС является прямоугольным. Из этого следует, что угол АОВ равен углу ОСВ, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Также, угол ОСВ равен углу ОВС, так как это углы при пересечении двух прямых. Значит, угол АОВ равен углу ОВС. Таким образом, треугольник АОВ является равнобедренным, так как у него две равные боковые стороны — АО и ОВ, и два равных угла — АОВ и ОВС.
Аналогично, рассмотрим треугольник AOD. Он также имеет две боковые стороны — АО и ОD. Так как прямоугольник ABCD является прямоугольником, то его диагонали равны между собой. Значит, ОD = BC. Также, по свойству прямоугольника, угол ОBC прямой. Значит, треугольник ОBC является прямоугольным. Из этого следует, что угол ОDC равен углу ОВА, так как это соответствующие углы при параллельных прямых. Также, угол ОВА равен углу ОАВ, так как это углы при пересечении двух прямых. Значит, угол ОDC равен углу ОАВ. Таким образом, треугольник AOD является равнобедренным, так как у него две равные боковые стороны — АО и ОD, и два равных угла — ОDC и ОАВ.
Таким образом, мы доказали, что треугольники АОВ и AOD являются равнобедренными.
