Вопрос школьника
Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции:
1. Диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол между диагоналями равен 90 градусов.
2. Диагонали делят трапецию на два прямоугольных треугольника.
3. Основания прямоугольных треугольников равны основаниям трапеции.
4. Высота прямоугольных треугольников равна разности длин диагоналей.
Из условия задачи известны основание АВ и боковая сторона АD. Найдем длину диагонали АС:
AC^2 = AB^2 + BC^2 (теорема Пифагора для прямоугольного треугольника ABC)
AC^2 = 6^2 + AD^2 (так как BC = AD)
Также известно, что угол между диагоналями равен 90 градусов, значит, прямоугольный треугольник АСD имеет гипотенузу AC и катеты AD и DC. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, найдем длину второй диагонали BD:
BD^2 = AC^2 — AD^2
Теперь, зная длины диагоналей, можно найти длины сторон трапеции:
DC = AC — AD
СВ = BD — AB
Подставляя известные значения, получаем:
AC^2 = 6^2 + AD^2
BD^2 = AC^2 — AD^2
DC = AC — AD
СВ = BD — AB
Решая эти уравнения, получаем:
AC = √(6^2 + 4^2) = √52
BD = √(√52^2 — 4^2) = √36 = 6
DC = √52 — 4 = √48 = 4√3
СВ = 6 — 6 = 0
Таким образом, длины сторон трапеции ABCD равны: AB = 6 см, AD = 4 см, DC = 4√3 см, BC = 0 см, BD = 6 см.
