Вопрос школьника
Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что меньшая боковая сторона есть среднее геометрическое оснований.
Ответ от учителя
Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны. Пусть также диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
Так как AC и BD перпендикулярны, то они делят трапецию на 4 прямоугольных треугольника: ABC, ABD, BCD и ACD.
Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Рассмотрим треугольник ABD. Он также прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:
BD^2 = AB^2 + AD^2
Так как AC и BD перпендикулярны, то треугольники ABC и ABD подобны. Поэтому:
AB/AD = BC/BD
AB^2/AD^2 = BC^2/BD^2
AB^2 + BC^2 = AB^2/AD^2 * (AD^2 + BD^2)
AB^2 + BC^2 = AB^2/AD^2 * BD^2 + AB^2
BC^2 = AB^2/AD^2 * BD^2
BD^2 = AD^2 + BC^2 * AD^2/AB^2
BD^2 = AD^2 * (AB^2 + BC^2)/AB^2
BD^2 = AD^2 * AC^2/AB^2
Таким образом, мы получили выражение для квадрата диагонали BD через квадрат диагонали AC и отношение сторон трапеции AB и AD.
Теперь рассмотрим отношение оснований трапеции AB и CD. По теореме Пифагора для треугольника BCD:
BC^2 = CD^2 — BD^2
CD^2 = BC^2 + BD^2
CD^2 = BC^2 + AD^2 * AC^2/AB^2
CD^2 = BC^2 * AB^2/AB^2 + AD^2 * AC^2/AB^2
CD^2 = (BC^2 * AB^2 + AD^2 * AC^2)/AB^2
AB^2 * CD^2 = BC^2 * AB^2 * AB^2 + AD^2 * AC^2 * AB^2
AB^2 * CD^2 = AB^2 * BC^2 * AD^2 + AB^4 * AC^2
CD^2 = BC^2 * AD^2/AB^2 + AB^2 * AC^2
CD^2 = AD^2 * (BC^2 + AB^2)/AB^2
CD^2 = AD^2 * AC^2/AB^2
Таким образом, мы получили выражение для квадрата диагонали CD через квадрат диагонали AC и отношение сторон трапеции AB и AD.
Так как AC и BD перпендикулярны, то они являются диагоналями прямоугольника ABCD. Поэтому:
AC^2 + BD^2 = CD^2 + AB^2
AC^2 + AD^2 * AC^2/AB^2 = AD^2 * AC^2/AB^2 + AB^2
AC^2/AB^2 = (AB^2 — AD^2)/AD^2
AB/AD = sqrt(AC^2/AB^2 + 1)
AB/AD = sqrt((AB^2 — AD^2)/AD^2 + 1)
AB/AD = sqrt(AB^2/AD^2 — 1 + 1)
AB/AD = sqrt(AB^2/AD^2)
AB = AD * sqrt(AB^2/AD^2)
AB = AD * sqrt(AC^2/AB^2)
AB = AD * AC/AB
AB^2 = AD * AC
AB^2 = BC * CD
AB = sqrt(BC * CD)
Таким образом, мы доказали, что меньшая боковая сторона трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.
