Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 5.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $AB parallel CD$, $AB=CD$, $h$ — высота трапеции, $AC$ и $BD$ — диагонали, перпендикулярные друг другу. Так как $AC perp BD$, то $AC$ и $BD$ являются высотами прямоугольного треугольника $ABC$ и $ABD$ соответственно. Поэтому $AC=sqrt{AB^2-h^2}$ и $BD=sqrt{AD^2-h^2}$. Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $AD=BC$. Обозначим среднюю линию трапеции через $MN$. Тогда $MN=frac{AB+CD}{2}=frac{2AB}{2}=AB$. Так как $MN$ является средней линией трапеции, то $MN=frac{AC+BD}{2}$. Подставляем значения $AC$ и $BD$ и получаем уравнение: $$AB=frac{sqrt{AB^2-h^2}+sqrt{AD^2-h^2}}{2}.$$ Возводим обе части уравнения в квадрат и получаем: $$AB^2=frac{1}{4}(AB^2-h^2+2sqrt{AB^2-h^2}sqrt{AD^2-h^2}+AD^2-h^2).$$ Упрощаем выражение: $$AB^2=frac{1}{4}(2AB^2+2AD^2-2h^2).$$ Отсюда получаем, что $h^2=frac{4AB^2-2AD^2}{3}$. Площадь трапеции равна $S=frac{(AB+CD)h}{2}=frac{2ABh}{2}=ABsqrt{frac{4AB^2-2AD^2}{3}}$. Так как $AB=CD=MN=5$, то $S=5sqrt{frac{4cdot 5^2-2AD^2}{3}}$. Осталось найти длину $AD$. Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то $AD=BC=2MN=10$. Подставляем значение $AD$ и получаем: $$S=5sqrt{frac{4cdot 5^2-2cdot 10^2}{3}}=5sqrt{frac{100}{3}}approx 28.87.$$ Ответ: площадь трапеции равна примерно 28.87.
