Вопрос школьника
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон трапеции, если средняя линия трапеции равна а.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, где AB || CD, AB = CD, AD ≠ BC. Пусть E и F — середины боковых сторон AD и BC соответственно. Также пусть M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Так как диагонали перпендикулярны, то AM = MC и BN = ND. Также из свойств трапеции следует, что EF = (AD — BC)/2.
Чтобы найти площадь четырехугольника EFMN, нужно найти длины его сторон и вычислить площадь по формуле S = (a+b)h/2, где a и b — длины параллельных сторон, а h — расстояние между ними.
Длина стороны EF равна (AD — BC)/2, а длина стороны MN равна (AC + BD)/2 = AB/2, так как AC и BD — это диагонали равнобедренной трапеции. Для вычисления высоты h можно использовать теорему Пифагора в треугольниках AEM и BFN:
h² = AM² — EM² = BN² — FN²
Так как AM = MC и BN = ND, то AM = BN = AB/2. Также EM = FN = EF/2 = (AD — BC)/4. Подставляя эти значения, получаем:
h² = (AB/2)² — ((AD — BC)/4)² = (AB² — (AD — BC)²/16)/4
Так как AB = CD и AD ≠ BC, то AB > AD — BC, и следовательно, AB² — (AD — BC)² > 0. Также заметим, что AB² — (AD — BC)² = 4S², где S — площадь трапеции ABCD. Таким образом, получаем:
h² = S²/4
Из этого следует, что h = S/2a, где a = AB/2 = AC/2 = BD/2 — средняя линия трапеции.
Таким образом, площадь четырехугольника EFMN равна:
S(EFMN) = (EF + MN)h/2 = ((AD — BC)/2 + AB/2)S/4a = (AD + AB)S/8a
Так как AD + AB = 2a, то получаем:
S(EFMN) = S/4
То есть площадь четырехугольника EFMN равна четверти площади исходной трапеции ABCD.
