Вопрос школьника
Диагонали равнобокой трапеции ABCD (АВ = CD) перпендикулярны, а сумма её оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы площади трапеции: S = (a+b)h/2, где a и b — основания трапеции, h — высота.
Из условия задачи известно, что АВ = CD и диагонали перпендикулярны. Это означает, что трапеция ABCD является прямоугольной. Пусть AC и BD — диагонали трапеции, а h — высота.
Так как AC и BD перпендикулярны, то они являются диагоналями прямоугольника ABCD. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD получаем:
AB^2 + BD^2 = AD^2
Так как AB = CD, то:
CD^2 + BD^2 = AD^2
Аналогично для треугольника ABC получаем:
BC^2 + AC^2 = AB^2
BC^2 + AC^2 = CD^2 + BD^2
Сложим два полученных уравнения:
2BD^2 + 2AC^2 = 2CD^2 + 2BC^2
BD^2 + AC^2 = CD^2 + BC^2
Так как AC и BD являются диагоналями прямоугольника, то они равны между собой:
AC = BD
Подставим это равенство в последнее уравнение:
2BD^2 = 2BC^2
BD^2 = BC^2
BD = BC
Таким образом, трапеция ABCD является равнобокой.
Из условия задачи известно, что сумма оснований равна 16 см:
AB + CD = 16
Так как AB = CD, то:
2AB = 16
AB = CD = 8
Теперь можем найти высоту h. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABD:
h^2 + 4^2 = BD^2
h^2 + 16 = BD^2
Так как BD = BC, то:
h^2 + 16 = BC^2
Из предыдущего пункта мы знаем, что BC = 8, поэтому:
h^2 + 16 = 64
h^2 = 48
h = 4√3
Теперь можем найти площадь трапеции:
S = (AB + CD)h/2 = 8 * 4√3 / 2 = 16√3
Ответ: площадь трапеции равна 16√3 квадратных сантиметров.
