Вопрос школьника
Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 11 см и 9 см.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — равнобокая трапеция, где $AB$ и $CD$ — основания, $AD$ и $BC$ — боковые стороны, $AC$ и $BD$ — диагонали, пересекающиеся в точке $O$.
Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то $angle AOC = angle BOD = 90^circ$. Пусть $OE = 11$ см и $OF = 9$ см, где $E$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно.
Тогда $AE = frac{AD}{2}$, $BF = frac{BC}{2}$, $OE = 11$ см, $OF = 9$ см. Из прямоугольного треугольника $AEO$ получаем:
$AO^2 = AE^2 + OE^2 = left(frac{AD}{2}right)^2 + 11^2$
Аналогично, из прямоугольного треугольника $BFO$ получаем:
$BO^2 = BF^2 + OF^2 = left(frac{BC}{2}right)^2 + 9^2$
Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то $AD = BC$. Обозначим эту длину за $x$. Тогда:
$AO^2 = left(frac{x}{2}right)^2 + 11^2$
$BO^2 = left(frac{x}{2}right)^2 + 9^2$
Сложим эти выражения:
$AO^2 + BO^2 = x^2 + 2 cdot left(frac{x^2}{4} + 11^2 + 9^2right)$
$AO^2 + BO^2 = x^2 + frac{x^2}{2} + 2 cdot (11^2 + 9^2)$
$AO^2 + BO^2 = frac{3x^2}{2} + 362$
Так как $AC$ и $BD$ — диагонали, то $AC = BD = sqrt{AO^2 + BO^2}$. Подставляем найденное выражение для $AO^2 + BO^2$:
$AC = BD = sqrt{frac{3x^2}{2} + 362}$
Площадь трапеции можно найти по формуле:
$S = frac{(AB + CD) cdot h}{2}$
где $h$ — высота трапеции, опущенная на основания $AB$ и $CD$. Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то $h$ равна расстоянию между основаниями:
$h = AD — BC = x — x = 0$
Следовательно, площадь трапеции равна нулю:
$S = frac{(AB + CD) cdot h}{2} = frac{(AD + BC) cdot 0}{2} = 0$
Ответ: площадь трапеции равна нулю.
