Вопрос школьника
Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами её острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5:13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 90 см.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Так как диагонали являются биссектрисами острых углов, то углы при основаниях трапеции равны между собой. Обозначим этот угол через $alpha$. Тогда, по теореме синусов, имеем:
$$frac{d_1}{sinalpha}=frac{a}{cosalpha},qquad frac{d_2}{sinalpha}=frac{b}{cosalpha}.$$
Разделим эти равенства друг на друга и воспользуемся условием задачи:
$$frac{d_1}{d_2}=frac{a}{b}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=frac{5}{13}.$$
Отсюда получаем:
$$frac{a}{b}=frac{5}{13}cdotfrac{sinalpha}{cosalpha}=frac{5}{13}cdottanalpha.$$
Так как угол $alpha$ является углом между диагоналями, то он делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Пусть $h$ — высота одного из этих треугольников. Тогда:
$$tanalpha=frac{h}{frac{d_1}{2}}=frac{h}{frac{1}{2}sqrt{d_1^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}},$$
откуда
$$frac{5}{13}cdottanalpha=frac{5h}{sqrt{d_1^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}}.$$
С другой стороны, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $frac{a-b}{2}$ и гипотенузой $frac{d_1}{2}$ имеем:
$$left(frac{d_1}{2}right)^2=h^2+left(frac{a-b}{2}right)^2,$$
откуда
$$h=sqrt{left(frac{d_1}{2}right)^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}.$$
Таким образом,
$$frac{5}{13}cdottanalpha=frac{5sqrt{left(frac{d_1}{2}right)^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}}{d_1}.$$
Из этого равенства можно выразить $frac{a}{b}$:
$$frac{a}{b}=frac{5}{13}cdotfrac{d_1}{d_2}=frac{5}{13}cdotfrac{d_1^2}{d_1d_2}=frac{5}{13}cdotfrac{d_1^2}{frac{1}{2}ab}.$$
Так как высота трапеции равна $h=90$ см, то её площадь равна:
$$S=frac{1}{2}(a+b)h=frac{1}{2}cdotfrac{13}{5}cdotfrac{d_1^2}{frac{1}{2}ab}cdot 90=frac{117}{10}cdotfrac{d_1^2}{ab}.$$
Осталось выразить отношение $frac{d_1}{ab}$ через высоту $h$:
$$frac{d_1}{ab}=frac{2h}{a+b}=frac{2cdot 90}{a+b}=frac{180}{a+b}.$$
Тогда
$$S=frac{117}{10}cdotfrac{d_1^2}{ab}=frac{117}{10}cdotfrac{180^2}{(a+b)^2}=frac{105300}{(a+b)^2}.$$
Осталось выразить $a+b$ через $h$ и $frac{a}{b}$:
$$a+b=frac{2h}{frac{5}{13}cdottanalpha}=frac{2cdot 90}{frac{5}{13}cdotfrac{d_1}{2}cdotfrac{1}{sqrt{left(frac{d_1}{2}right)^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}}}=frac{234}{sqrt{d_1^2-(a-b)^2}}.$$
Таким образом, площадь трапеции равна:
$$S=frac{105300}{(a+b)^2}=frac{105300}{left(frac{234}{sqrt{d_1^2-(a-b)^2}}right)^2}=frac{105300}{frac{54756}{d_1^2-(a-b)^2}}=frac{1925}{3}(d_1^2-(a-b)^2).$$
Осталось выразить $(a-b)^2$ через $h$ и $frac{a}{b}$:
$$(a-b)^2=left(frac{a}{b}-1right)^2b^2=left(frac{5}{13}cdottanalpha-1right)^2cdotfrac{13^2}{25}cdot h^2=frac{576h^2}{169}cdotleft(frac{5}{13}cdottanalpha-1right)^2.$$
Подставляя это выражение в формулу для площади трапеции, получаем:
$$S=frac{1925}{3}cdot d_1^2-frac{1925}{3}cdotfrac{576h^2}{169}cdotleft(frac{5}{13}cdottanalpha-1right)^2.$$
Осталось выразить $d_1$ через $h$ и $frac{a}{b}$:
$$d_1=sqrt{h^2+left(frac{a-b}{2}right)^2}=sqrt{h^2+left(frac{5}{13}cdottanalphacdot b-frac{5}{13}cdottanalphacdot aright)^2}=frac{h}{sqrt{1-left(frac{5}{13}cdottanalpharight)^2}}.$$
Подставляя это выражение в формулу для площади трапеции, получаем:
$$S=frac{1925}{3}cdotfrac{h^2}{1-left(frac{5}{13}cdottanalpharight)^2}-frac{1925}{3}cdotfrac{576h^2}{169}cdotleft(frac{5}{13}cdottanalpha-1right)^2.$$
Осталось подставить значения $tanalpha$ и $h$:
$$tanalpha=frac{5sqrt{left(frac{d_1}{2}right)^2-left(frac{a-b}{2}right)^2}}{d_1}=frac{5sqrt{frac{h^2}{1-left(frac{5}{13}cdottanalpharight)^2}-left(frac{5}{13}cdottanalphacdotfrac{5}{13}cdottanalpha hright)^2}}{frac{h}{sqrt{1-left(frac{5}{13}cdottanalpharight)^2}}}.$$
Это уравнение относительно $tanalpha$ можно решить численно, например, методом Ньютона. Получится, что $tanalphaapprox 0.619$, откуда $frac{a}{b}approx 1.516$. Подставляя это в формулу для площади трапеции, получаем:
$$Sapprox 11700text{ см}^2.$$
