Вопрос школьника
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Периметр треугольников OAD и OBC относятся как 5 : 3, AC = 24 см. Найдите AO и OC.
Ответ от учителя
Пусть $AO = x$, $OC = y$. Так как $AC$ является диагональю трапеции $ABCD$, то она делит ее на два треугольника $ABC$ и $ABD$. Так как $AC = 24$ см, то $AB + CD = 24$ см. Обозначим $AB = a$, $CD = b$. Тогда $a + b = 24$.
Так как $O$ является точкой пересечения диагоналей трапеции, то $AO + OC$ равно полупериметру $ABCD$: $AO + OC = frac{AB + CD + AD + BC}{2} = frac{a + b + AD + BC}{2}$.
Также заметим, что треугольники $OAD$ и $OBC$ имеют общую высоту, так как они лежат на одной прямой $OC$. Поэтому отношение их периметров равно отношению их оснований: $frac{OA + AD + OD}{OB + BC + OC} = frac{5}{3}$.
Заметим, что $AD = BC$, так как они являются основаниями одной и той же трапеции. Поэтому $frac{OA + AD + OD}{OB + BC + OC} = frac{OA + AD + OD}{OA + BC + OD} = frac{5}{3}$.
Теперь мы можем составить систему уравнений:
$$begin{cases} a + b = 24 \ frac{OA + AD + OD}{OA + BC + OD} = frac{5}{3} \ AO + OC = frac{a + b + AD + BC}{2} end{cases}$$
Решая ее, получаем:
$$begin{cases} a = 12 \ b = 12 \ OA + OD = frac{5}{3}(OA + BC + OD) \ AO + OC = 18 end{cases}$$
Из первых двух уравнений следует, что $ABCD$ является равнобедренной трапецией с основаниями $AD$ и $BC$ длиной $12$ см каждое и боковыми сторонами $AB = CD = 15$ см. Также из второго уравнения следует, что $frac{OA + OD}{OA + BC + OD} = frac{5}{3}$, или $frac{OA + OD}{OA + BD} = frac{5}{3}$. Заметим, что $BD = 24 — 2 cdot 12 = 0$, то есть $BD$ равна нулю. Поэтому $frac{OA + OD}{OA} = frac{5}{3}$, или $OD = frac{2}{3}OA$.
Теперь мы можем выразить $OD$ через $OA$ и подставить в третье уравнение:
$$OA + frac{2}{3}OA = frac{5}{3}(OA + BC + frac{2}{3}OA)$$
$$frac{5}{3}OA + frac{5}{3}BC = frac{5}{3}OA + 2OA$$
$$frac{5}{3}BC = frac{4}{3}OA$$
$$OA = frac{5}{4}BC = frac{5}{4} cdot 15 = 18.75 text{ см}$$
Тогда $OD = frac{2}{3}OA = 12.5$ см и $OC = 18 — AO = 18 — 18.75 = -0.75$ см. Ответ: $AO = 18.75$ см, $OC = -0.75$ см. Отрицательное значение $OC$ означает, что точка $O$ находится слева от середины отрезка $AC$.
