Вопрос школьника
Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О (рис. 106, б). Вычислите длины отрезков АО и ОС, если АС = 20 см, Р ВОС : Р DОА = 2 : 3.
Ответ от учителя
Рассмотрим трапецию ABCD и ее диагонали. По свойству диагоналей трапеции, точка пересечения диагоналей О делит каждую диагональ на две равные части. То есть, АО = ОС и ВО = ОD.
Также из условия задачи известно, что отношение площадей треугольников ВОС и DОА равно 2 : 3. Обозначим площади этих треугольников через S1 и S2 соответственно.
Так как диагонали трапеции делят ее на два треугольника, то площадь трапеции ABCD можно выразить через сумму площадей этих треугольников:
S(ABCD) = S1 + S2
Также известно, что основания трапеции равны: ВС = AD. Обозначим их длину через h.
Тогда площадь треугольника ВОС можно выразить через основание ВС и высоту, проведенную к этому основанию:
S1 = (ВС * h) / 2
Аналогично, площадь треугольника DОА можно выразить через основание AD и высоту, проведенную к этому основанию:
S2 = (AD * h) / 2
Таким образом, мы получили систему уравнений:
S(ABCD) = S1 + S2
S1 / S2 = 2 / 3
ВС = AD
Подставляя выражения для S1 и S2, получаем:
S(ABCD) = (ВС * h) / 2 + (AD * h) / 2
S1 / S2 = (ВС * h) / 2 / (AD * h) / 2 = ВС / AD = 2 / 3
ВС = AD
Упрощая выражения, получаем:
S(ABCD) = h * (ВС + AD) / 2
ВС / AD = 2 / 3
Заметим, что ВС + AD равно периметру трапеции, то есть ВС + AD = AB + CD. Обозначим эту величину через P.
Тогда система уравнений примет вид:
S(ABCD) = h * P / 2
ВС / AD = 2 / 3
ВС + AD = P
Решая эту систему уравнений, можно выразить ВС и AD через h и P:
ВС = (2 / 5) * h * P
AD = (3 / 5) * h * P
Теперь рассмотрим треугольник АОС. Он является прямоугольным, так как диагонали трапеции пересекаются в его вершине О. По теореме Пифагора:
АО^2 + ОС^2 = АС^2
Так как АО = ОС, то можно записать:
2 * АО^2 = АС^2
Подставляя значения, получаем:
2 * АО^2 = 20^2
АО^2 = 200
АО = 10 * √2
Так как АО = ОС, то ОС также равно 10 * √2.
Итак, мы нашли длины отрезков АО и ОС: АО = ОС = 10 * √2.
