Вопрос школьника
Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, ВО : OD = 3:7, ВС = 18 см. Найдите основание AD.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства трапеции и пропорции.
Свойства трапеции:
1. Диагонали трапеции делятся пересечением на две равные части.
2. Сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон.
Из первого свойства следует, что отрезки BO и OD равны соответственно 3/10 и 7/10 длины диагонали AC.
Пусть длина основания AD равна x. Тогда длина диагонали AC равна x + 18 (сумма длин оснований).
Из второго свойства следует, что длина диагонали AC равна сумме длин боковых сторон трапеции, то есть:
AC = AB + CD
Заметим, что AB и CD являются боковыми сторонами прямоугольных треугольников ABO и CDO соответственно. По теореме Пифагора:
AB^2 = AO^2 + BO^2
CD^2 = CO^2 + DO^2
Подставляя значения BO и DO, получаем:
AB^2 = AO^2 + (3/10 * AC)^2
CD^2 = CO^2 + (7/10 * AC)^2
Так как точка О является точкой пересечения диагоналей, то AO и CO равны половине длины диагонали AC:
AO = CO = 1/2 * AC
Подставляя это значение, получаем:
AB^2 = 1/4 * AC^2 + 9/100 * AC^2
CD^2 = 1/4 * AC^2 + 49/100 * AC^2
Сложим эти уравнения:
AB^2 + CD^2 = 5/4 * AC^2
Выразим AC:
AC = 2/√5 * √(AB^2 + CD^2)
Подставим значения AB и CD:
AC = 2/√5 * √(AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2)
AC = 2/√5 * √(2 * BO^2 + 2 * CO^2)
Подставим значения BO и CO:
AC = 2/√5 * √(2 * (3/10 * AC)^2 + 2 * (7/10 * AC)^2)
Решим это уравнение относительно AC:
AC = 36/√29
Теперь можем найти длину основания AD:
AD = AC — BC
AD = AC — (BC + CD)
AD = AC — (AB + AD)
AD + AB + CD = AC
AD + 18 = AC
AD = AC — 18
AD = 36/√29 — 18
AD = 18(2/√29 — 1)
Ответ: основание AD равно 18(2/√29 — 1) см.
