Вопрос школьника
Диагонали трапеции ABCD (ВС || AD) пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и СОВ подобны.
Ответ от учителя
Для доказательства подобия треугольников AOD и СОВ необходимо показать, что они имеют два угла, равные между собой, и соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим треугольник AOD. Угол AOD является вертикальным углом для угла BOC, так как они лежат на пересекающихся диагоналях. Значит, угол AOD равен углу BOC. Также угол ADO равен углу BCO, так как это соответствующие углы при параллельных прямых AD и BC.
Рассмотрим треугольник СОВ. Угол СОВ является вертикальным углом для угла AOD, так как они лежат на пересекающихся диагоналях. Значит, угол СОВ равен углу AOD. Также угол СВО равен углу ADO, так как это соответствующие углы при параллельных прямых BC и AD.
Таким образом, мы доказали, что углы AOD и СОВ равны между собой.
Для доказательства пропорциональности сторон рассмотрим отношения:
AO/CO = (по теореме Пифагора в треугольниках AOD и СОВ) = AD/BC
DO/BO = (по теореме Пифагора в треугольниках AOD и СОВ) = OD/VO
Так как ВС || AD, то треугольники AOD и СОВ являются подобными по признаку углов, а отношения сторон в них равны. Значит, треугольники AOD и СОВ подобны.
