Вопрос школьника
Диагонали трапеции АВСD с основанием АD пересекаются в точке О, площади треугольников АОD и ВОС равны 12 см2 и 3 см2. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть $h$ — высота трапеции, $a$ и $b$ — длины ее оснований $AD$ и $BC$ соответственно. Так как диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, то точка $O$ является серединой отрезка $MN$, где $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда $OM = ON = frac{1}{2}h$.
Рассмотрим треугольник $AOD$. Его площадь равна $frac{1}{2}ah = 12$ (так как $AD$ — основание треугольника, а $h$ — его высота). Аналогично, для треугольника $BSC$ имеем $frac{1}{2}bh = 3$.
Так как $OM = ON$, то треугольники $AOM$ и $DON$ равны по площади. Аналогично, треугольники $BOM$ и $CNO$ равны по площади. Тогда площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей треугольников $AOM$, $DON$, $BOM$ и $CNO$:
$$S_{ABCD} = frac{1}{2}OMcdot (AD+BC) = frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}hcdot (a+b) = frac{1}{4}h(a+b)$$
С другой стороны, из равенства площадей треугольников $AOM$ и $DON$ получаем:
$$frac{1}{2}OMcdot AD = frac{1}{2}ONcdot DC$$
$$frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}hcdot a = frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}hcdot b$$
$$a = b$$
Таким образом, трапеция $ABCD$ является равнобедренной, и ее площадь равна:
$$S_{ABCD} = frac{1}{4}h(a+b) = frac{1}{4}hcdot 2a = frac{1}{2}ah = frac{1}{2}cdot 12 = boxed{6text{ см}^2}$$
