Вопрос школьника
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Длина одной диагонали равна 6, а вторая образует с основанием угол, равный 30°. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для средней линии трапеции:
$$
m = frac{a+b}{2},
$$
где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.
Из условия задачи известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Это означает, что мы можем разбить трапецию на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых один из катетов равен половине суммы оснований, а гипотенуза — длине диагонали.
Пусть $ABCD$ — наша трапеция, $AC$ — диагональ, $BD$ — вторая диагональ, $M$ — точка пересечения диагоналей. Тогда мы можем записать:
$$
AM = MC = frac{AC}{2} = frac{6}{2} = 3,
$$
$$
BM = MD = frac{BD}{2}.
$$
Также из условия задачи известно, что угол между диагональю $AC$ и основанием $AB$ равен $30^circ$. Это означает, что треугольник $ABM$ является прямоугольным, и мы можем записать:
$$
tan 30^circ = frac{BM}{AM}.
$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$
frac{1}{sqrt{3}} = frac{BM}{3}.
$$
Отсюда находим:
$$
BM = frac{3}{sqrt{3}} = sqrt{3}.
$$
Теперь мы можем найти длины оснований трапеции:
$$
a = 2BM = 2sqrt{3},
$$
$$
b = AC = 6.
$$
И, наконец, средняя линия трапеции равна:
$$
m = frac{a+b}{2} = frac{2sqrt{3}+6}{2} = sqrt{3}+3.
$$
Ответ: средняя линия трапеции равна $sqrt{3}+3$.
