Вопрос школьника
Диагонали трапеции являются биссектрисами ее острых углов. Найдите среднюю линию трапеции, учитывая, что периметр трапеции равен 112 см, а основания относятся как 3:5.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание, а $b$ — большее основание. Также обозначим диагонали как $d_1$ и $d_2$, а среднюю линию как $m$.
Из условия задачи мы знаем, что диагонали являются биссектрисами острых углов трапеции. Это означает, что каждая диагональ делит соответствующий угол на две равные части. Таким образом, мы можем разбить трапецию на четыре треугольника, каждый из которых имеет одинаковый угол при вершине, образованной диагоналями.
Теперь мы можем использовать свойства треугольников, чтобы найти длину средней линии. Рассмотрим треугольник, образованный меньшим основанием, диагональю $d_1$ и средней линией $m$. Этот треугольник является прямоугольным, так как диагональ является биссектрисой угла, а значит, делит его на два прямых угла.
Мы знаем, что периметр трапеции равен 112 см, а основания относятся как 3:5. Это означает, что $a+b+d_1+d_2=112$ и $a:b=3:5$. Мы можем выразить $a$ и $b$ через $d_1$ и $d_2$, используя теорему Пифагора для треугольников, образованных диагоналями и основаниями:
$$a^2+d_1^2=m^2$$
$$b^2+d_2^2=m^2$$
$$a:b=3:5$$
Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы выразить $m$ через $d_1$ и $d_2$:
$$frac{a}{b}=frac{3}{5}$$
$$a=frac{3b}{5}$$
$$a^2+d_1^2=m^2$$
$$left(frac{3b}{5}right)^2+d_1^2=m^2$$
$$frac{9b^2}{25}+d_1^2=m^2$$
$$b^2+d_2^2=m^2$$
$$b^2+left(frac{5d_1}{3}right)^2=m^2$$
$$b^2+frac{25d_1^2}{9}=m^2$$
$$a+b+d_1+d_2=112$$
$$frac{3b}{5}+b+d_1+d_2=112$$
$$frac{8b}{5}+d_1+d_2=112$$
Теперь мы можем выразить $d_2$ через $d_1$ и $b$:
$$d_2=112-frac{8b}{5}-d_1$$
Подставим это выражение в уравнение для $m$:
$$b^2+left(frac{5d_1}{3}right)^2=m^2$$
$$b^2+frac{25d_1^2}{9}=m^2$$
$$m^2=b^2+frac{25d_1^2}{9}$$
$$m^2=left(frac{3b}{5}right)^2+d_1^2+frac{25d_1^2}{9}$$
$$m^2=frac{9b^2}{25}+frac{34d_1^2}{9}$$
$$m^2=frac{9b^2+850d_1^2}{225}$$
Теперь мы можем выразить $m$ через $d_1$ и $b$:
$$m=sqrt{frac{9b^2+850d_1^2}{225}}$$
Нам нужно найти среднюю линию, которая является средним арифметическим значением оснований. Мы можем выразить среднее арифметическое через $a$ и $b$:
$$m_{avg}=frac{a+b}{2}$$
Мы можем выразить $a$ через $b$:
$$frac{a}{b}=frac{3}{5}$$
$$a=frac{3b}{5}$$
Теперь мы можем выразить $m_{avg}$ через $d_1$ и $b$:
$$m_{avg}=frac{a+b}{2}$$
$$m_{avg}=frac{frac{3b}{5}+b}{2}$$
$$m_{avg}=frac{4b}{5}$$
Таким образом, средняя линия трапеции равна $frac{4}{5}$ от большего основания. Мы можем выразить большее основание через периметр и отношение оснований:
$$frac{a}{b}=frac{3}{5}$$
$$a+b+d_1+d_2=112$$
$$a=frac{3b}{5}$$
$$frac{3b}{5}+b+d_1+d_2=112$$
$$frac{8b}{5}+d_1+d_2=112$$
$$d_2=112-frac{8b}{5}-d_1$$
$$b+a=frac{8b}{5}+d_1+d_2$$
$$frac{8b}{5}+d_1+d_2=112$$
$$frac{8b}{5}+d_1+112-frac{8b}{5}-d_1=112$$
$$frac{16b}{5}=112$$
$$b=35$$
Таким образом, большее основание равно 35 см, а средняя линия равна:
$$m_{avg}=frac{4b}{5}=frac{4cdot35}{5}=28text{ см}$$
Ответ: средняя линия трапеции равна 28 см.
