Вопрос школьника
Диагонали выпуклого четырёхугольника равны с и d и пересекаются под углом 45°. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — наш выпуклый четырехугольник, а AC и BD — его диагонали, пересекающиеся в точке O под углом 45 градусов. Также пусть M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
Так как M и N — середины сторон AB и BC, то MN || AC (по свойству параллельных прямых). Аналогично, PQ || AC и MP || BD и NQ || BD.
Теперь рассмотрим треугольники MOP и NOQ. Они равнобедренные, так как MO = OP (по определению середины стороны) и NO = OQ (аналогично). Кроме того, угол MON равен 45 градусов (так как AC и BD пересекаются под углом 45 градусов). Значит, угол MOP равен 45 градусов (так как MO || AC и OP || AC), а угол NOQ также равен 45 градусов (аналогично).
Таким образом, треугольники MOP и NOQ равны по двум углам и стороне между ними (они лежат на параллельных прямых MP и NQ). Значит, они равны полностью. В частности, MP = NQ.
Аналогично можно доказать, что MQ = NP.
Итак, мы доказали, что отрезки MP и NQ равны, а также отрезки MQ и NP равны. Значит, четырехугольник MNPQ — параллелограмм. Его диагонали пересекаются в точке O (как середины AC и BD), и каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Значит, точка O — середина отрезка MN и середина отрезка PQ.
