Вопрос школьника
Диаметр окружности равен 6 см, а сторона вписанного треугольника 3√2 см. Найдите угол, противолежащий данной стороне. Сколько решений имеет задача?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что вписанный угол в окружность равен половине соответствующего центрального угла. Также нам понадобится знание о том, что в треугольнике со сторонами a, b, c и углами α, β, γ, выполнено соотношение:
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R,
где R — радиус описанной окружности.
Из условия задачи известно, что диаметр окружности равен 6 см, следовательно, радиус описанной окружности равен 3 см. Также известно, что сторона вписанного треугольника равна 3√2 см. Обозначим эту сторону буквой a.
Используя формулу для радиуса описанной окружности, найдем длины двух других сторон треугольника:
b = c = 2R*sin(α/2) = 2*3*sin(α/2) = 6*sin(α/2).
Теперь можем применить формулу для вписанного треугольника:
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R.
Подставляем известные значения:
3√2/sin(α) = 6*sin(α/2)/sin(β) = 6*sin(α/2)/sin(γ) = 6.
Отсюда получаем:
sin(α) = 3√2/6 = √2/2,
sin(β) = sin(γ) = sin(α/2) = √((1-cos(α))/2) = √((1-√2/2)/2) = √((2-√2)/4) = (1/2)*√(2-√2).
Теперь можем найти угол, противолежащий стороне a:
α = 2*arcsin(sin(α/2)) = 2*arcsin(√2/2) = π/2.
Таким образом, угол, противолежащий стороне a, равен 90 градусов.
Заметим, что в данной задаче имеется только одно решение, так как известны длины всех сторон треугольника и радиус описанной окружности, а значит, все углы треугольника определены однозначно.
