Вопрос школьника
Диэлектрическая сфера радиусом R, несёт равномерно распределённый по объёму, электрический заряд с объёмной плотностью ρ. Найти зависимость величины потенциала шара в функции расстояния от его центра
Ответ от учителя
Для нахождения зависимости величины потенциала шара в функции расстояния от его центра необходимо воспользоваться уравнением Пуассона:
∇²φ = -ρ/ε₀,
где φ — потенциал, ρ — объёмная плотность заряда, ε₀ — электрическая постоянная.
Для сферически симметричной системы уравнение Пуассона принимает вид:
1/r²(d/dr)(r²(dφ/dr)) = -ρ/ε₀,
где r — расстояние от центра сферы.
Решая это уравнение, получим:
φ(r) = (1/4πε₀) ∫ρ(r’) (r’² — r²)/r’² dr’,
где интегрирование производится по всем точкам объёма сферы, а r’ — расстояние от центра сферы до соответствующей точки объёма.
Таким образом, зависимость величины потенциала шара в функции расстояния от его центра будет определяться интегралом от объёмной плотности заряда по всем точкам объёма сферы. Она будет убывать с расстоянием от центра сферы и иметь сферически симметричную форму.
