Вопрос школьника
Диск вращается с угловым ускорением ε=-2 рад/с2. Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n1=240 мин до n2=90 мин? Найти время t, в течение которого это произойдет.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать формулы связывающие угловое ускорение, угловую скорость и угол поворота.
Угловое ускорение ε определяется как производная угловой скорости ω по времени t:
ε = dω/dt
Угловая скорость ω определяется как производная угла поворота φ по времени t:
ω = dφ/dt
Угол поворота φ определяется как произведение угловой скорости ω на время t:
φ = ωt
Таким образом, можно связать угловое ускорение, угловую скорость и угол поворота следующим образом:
ε = dω/dt = d²φ/dt²
ω = dφ/dt
φ = ωt
Для решения задачи необходимо найти угол поворота φ и время t, за которое диск сделает N оборотов при изменении частоты вращения от n1 до n2.
Сначала найдем угловую скорость ω1 при частоте вращения n1:
ω1 = 2πn1/60 = 2π*240/60 = 8π рад/с
Затем найдем угловую скорость ω2 при частоте вращения n2:
ω2 = 2πn2/60 = 2π*90/60 = 3π рад/с
Для нахождения угла поворота φ необходимо проинтегрировать угловую скорость ω по времени t:
φ = ∫ω dt
φ = ∫ω1 + εt dt (от t=0 до t=t)
φ = ω1t + (εt²)/2
Для нахождения времени t необходимо решить уравнение для угла поворота φ:
N = φ/2π
N = (ω1t + (εt²)/2)/2π
N = (8πt — πt²)/2π
N = 4t — (t²/2)
Таким образом, уравнение для времени t имеет вид:
t² — 8t + 2N = 0
Решая это квадратное уравнение, получаем:
t = (8 ± √(64 — 8N))/2
Так как время не может быть отрицательным, то выбираем положительный корень:
t = (8 + √(64 — 8N))/2
Теперь можно найти угол поворота φ:
φ = ω1t + (εt²)/2
φ = 8πt — πt²/2
Итак, диск сделает N оборотов при изменении частоты вращения от n1 до n2 за время:
t = (8 + √(64 — 8N))/2
Угол поворота диска за это время будет равен:
φ = 8πt — πt²/2
Ответ: диск сделает N оборотов за время t = (8 + √(64 — 8N))/2, а угол поворота диска за это время будет равен φ = 8πt — πt²/2.
