Вопрос школьника
Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна b, а ребро наклонено к основанию под углом ф. Найдите апофему пирамиды.
Ответ от учителя
Апофема правильной четырехугольной пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Для нахождения апофемы воспользуемся теоремой Пифагора.
Рассмотрим правильный треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и половиной основания пирамиды. Так как ребро наклонено к основанию под углом ф, то угол между боковым ребром и половиной основания равен 90° — ф/2. Тогда по теореме Пифагора:
a^2 = (b/2)^2 + h^2,
где a — апофема, h — высота боковой грани пирамиды.
Высота боковой грани равна b*sin(ф/2), так как она является катетом прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна боковому ребру, а угол между гипотенузой и боковой гранью равен ф/2.
Тогда подставляя выражение для h в формулу для a, получаем:
a^2 = (b/2)^2 + (b*sin(ф/2))^2
a^2 = b^2/4 + b^2*sin^2(ф/2)
a^2 = b^2*(1/4 + sin^2(ф/2))
a = b*sqrt(1/4 + sin^2(ф/2))
Таким образом, апофема правильной четырехугольной пирамиды равна b*sqrt(1/4 + sin^2(ф/2)).
