Вопрос школьника
Длина боковой стороны равнобедренной трапеции равна √26 см, а высота трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен 1 см. Вычислите площадь этой трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет боковую сторону BC = √26 см, высоту h, большее основание AD и меньшее основание AB = 1 см. Пусть точка E — точка пересечения диагоналей AC и BD.
Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то точка E является серединой обеих диагоналей. Также из свойств равнобедренной трапеции известно, что точка E лежит на высоте h, проведенной из вершины тупого угла.
Пусть AE = x, тогда DE = AD — x = AB + BC — x = 1 + √26 — x. Так как точка E является серединой диагонали AC, то EC = EA = x. Аналогично, EB = ED = 1 + √26 — x.
Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то AE*EC + BE*ED = AC*CE = BD*DE. Подставляя известные значения, получаем:
x^2 + (1 + √26 — x)^2 = (2h)^2
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
2x^2 — 2(1 + √26)x + 27 = 4h^2
Выражаем h^2:
h^2 = (x^2 — (1 + √26)x + 27/2)
Теперь можем вычислить площадь трапеции. Пусть основания трапеции равны a и b, тогда:
S = (a+b)*h/2
Так как трапеция равнобедренная, то a = b = (AB + CD)/2 = (1 + √26)/2. Подставляем известные значения и получаем:
S = ((1 + √26)/2 + (1 + √26))*√(x^2 — (1 + √26)x + 27/2)/2
S = (3 + 2√26)*√(x^2 — (1 + √26)x + 27/2)/4
Осталось найти значение x. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AEB:
x^2 + 1 = h^2
Подставляем найденное значение h^2 и решаем квадратное уравнение:
x^2 — (1 + √26)x + 27/2 = 0
D = (1 + √26)^2 — 4*27/2 = 3
x1 = (1 + √26 + √6)/4
x2 = (1 + √26 — √6)/4
Так как x должно быть меньше AB = 1 см, то выбираем x2. Подставляем его в формулу для площади трапеции и получаем:
S = (3 + 2√26)*√(3 — √26)/4 ≈ 4.5 см^2
Ответ: площадь равнобедренной трапеции равна примерно 4.5 см^2.
