Вопрос школьника
Длина большей диагонали параллелограмма равна 14 см, а меньшая делится перпендикуляром, проведенным из вершины острого угла, на отрезки, длины которых равны 2 см и 6 см. Вычислите длины сторон параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм ABCD имеет большую диагональ AC, меньшую диагональ BD и острый угол A. Перпендикуляр, проведенный из вершины A, пересекает BD в точке E.
Так как AE перпендикулярна BD, то треугольник AEB прямоугольный. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AE^2 + BE^2$
$AB^2 = 2^2 + 6^2$
$AB^2 = 40$
$AB = sqrt{40} = 2sqrt{10}$
Так как AC — большая диагональ, то она делит параллелограмм на два равных треугольника. Поэтому:
$AC^2 = 2AB^2 + 2BC^2$
$14^2 = 2(2sqrt{10})^2 + 2BC^2$
$196 = 8cdot 10 + 2BC^2$
$BC^2 = frac{196-80}{2} = 58$
$BC = sqrt{58}$
Таким образом, длины сторон параллелограмма равны:
$AB = 2sqrt{10}$
$BC = sqrt{58}$
$CD = AB = 2sqrt{10}$
$AD = BC = sqrt{58}$
