Вопрос школьника
Длина диагонали DB1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 18 см, а диагональ DB1 составляет с плоскостью боковой грани угол 30° (B1DC1 = 30°) (рис. 44, а, б). Вычислите объем параллелепипеда, если диагональ DB1 составляет с боковым ребром угол 45° (BB1D = 45°).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.
Обозначим длины ребер параллелепипеда следующим образом:
— AB = a
— BC = b
— AD = c
Тогда длина диагонали DB1 равна:
DB1 = √(a² + b² + c²)
Из условия задачи известно, что длина диагонали DB1 равна 18 см:
√(a² + b² + c²) = 18
Также из условия задачи известно, что угол между диагональю DB1 и плоскостью боковой грани параллелепипеда равен 30°:
cos(30°) = (BD1/DB1) = (b/√(a² + b² + c²))
Отсюда можно выразить b:
b = cos(30°) * √(a² + b² + c²)
Аналогично, из условия задачи известно, что угол между диагональю DB1 и боковым ребром BB1 равен 45°:
cos(45°) = (BD1/BB1) = (b/√(a² + c²))
Отсюда можно выразить b через c:
b = cos(45°) * √(a² + c²)
Теперь мы имеем два уравнения для b, которые можно приравнять друг к другу и решить относительно c:
cos(30°) * √(a² + b² + c²) = cos(45°) * √(a² + c²)
cos(30°)² * (a² + b² + c²) = cos(45°)² * (a² + c²)
(a² + b² + c²) = (cos(45°)²/cos(30°)²) * (a² + c²)
(a² + b² + c²) = 2 * (a² + c²)
b² = a² + c²
Теперь мы можем выразить b через a и c:
b = √(a² + c²)
Используя теорему Пифагора для треугольника B1DB, получаем:
BB1² + BD1² = DB1²
(a + c)² + b² = 18²
(a + c)² + (a² + c²) = 18²
2a² + 2ac + 2c² = 18² — (a + c)²
2a² + 2ac + 2c² = 18² — (a² + 2ac + c²)
3a² + 3c² = 18²
a² + c² = (18²)/3
a² + c² = 108
Теперь мы можем выразить объем параллелепипеда:
V = abc = ac√(a² + c²) = √(a²c²(a² + c²)) = √(a²c²(108))
V = 6ac√3
Осталось только найти значения a и c. Для этого можно воспользоваться системой уравнений:
a² + c² = 108
b² = a² + c²
cos(30°) * √(a² + b² + c²) = 18
Решив эту систему, получим:
a ≈ 6.93 см
b ≈ 9.80 см
c ≈ 6.93 см
Тогда объем параллелепипеда равен:
V ≈ 6 * 6.93 * 6.93 * √3 ≈ 361.8 см³
Ответ: объем параллелепипеда равен примерно 361.8 см³.
