Вопрос школьника
Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АСВ равна 10 см, а угол ABC = 60°. Вычислите: а) длины катетов треугольника; б) высоту CF треугольника; в) площади треугольников АСВ и CFB.
Ответ от учителя
а) Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 — 2abcos C$
где $a$ и $b$ — катеты треугольника, $c$ — гипотенуза, $C$ — угол между гипотенузой и катетом $a$.
Подставим известные значения:
$10^2 = a^2 + b^2 — 2abcos 60^circ$
$100 = a^2 + b^2 — ab$
Также знаем, что угол между катетами равен $90^circ$, поэтому можно записать:
$b = acdottan 60^circ = sqrt{3}a$
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
$100 = a^2 + 3a^2 — a^2sqrt{3}$
$100 = 2a^2 — a^2sqrt{3}$
$a^2 = frac{100}{2 — sqrt{3}} approx 58.78$
$b = sqrt{3}a approx 101.96$
Ответ: $a approx 7.67$ см, $b approx 13.26$ см.
б) Высота $CF$ является биссектрисой угла $C$, поэтому можно воспользоваться формулой:
$CF = frac{2ab}{a+b}sqrt{s(s-c)}$
где $s$ — полупериметр треугольника, $c$ — сторона, противолежащая углу $C$.
Подставим известные значения:
$s = frac{a+b+c}{2} = frac{7.67+13.26+10}{2} approx 15.47$
$CF = frac{2cdot 7.67cdot 13.26}{7.67+13.26}sqrt{15.47(15.47-10)} approx 23.09$
Ответ: $CF approx 23.09$ см.
в) Площадь треугольника $ASV$ можно вычислить по формуле:
$S_{ASV} = frac{1}{2}ab$
Подставим известные значения:
$S_{ASV} = frac{1}{2}cdot 7.67cdot 13.26 approx 50.96$
Площадь треугольника $CFB$ можно вычислить по формуле:
$S_{CFB} = frac{1}{2}CFcdot FB$
Найдем длину стороны $FB$ с помощью теоремы Пифагора:
$FB^2 = AB^2 — AF^2 = 10^2 — CF^2 approx 19.56$
$FB approx 4.42$
Подставим известные значения:
$S_{CFB} = frac{1}{2}cdot 23.09cdot 4.42 approx 51.06$
Ответ: $S_{ASV} approx 50.96$ см$^2$, $S_{CFB} approx 51.06$ см$^2$.
