Вопрос школьника
Длина катета прямоугольного треугольника равна b, а градусная мера противолежащего ему угла — β. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины этого угла.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике:
$l_b = sqrt{ableft(1-frac{c^2}{(a+b)^2}right)}$
где $a$ и $b$ — длины катетов, $c$ — длина гипотенузы.
В нашем случае $a = b$, а гипотенуза равна $c = b/sinbeta$. Подставляя значения в формулу, получаем:
$l_b = sqrt{b^2cdot b/sinbetacdotleft(1-frac{(b/sinbeta)^2}{(2b)^2}right)} = sqrt{b^2cdot b/sinbetacdotleft(1-frac{1}{4sin^2beta}right)}$
Упрощая выражение, получаем:
$l_b = frac{2b}{sqrt{2+cos2beta}}$
Таким образом, длина биссектрисы, проведенной из вершины угла $beta$ в прямоугольном треугольнике со стороной $b$, равна $l_b = frac{2b}{sqrt{2+cos2beta}}$.
