Вопрос школьника
Длина ломаной из трёх звеньев 370 см. Найди длину третьего звена ломаной, если длина первого звена 15 дм, а длина второго звена равна 1/5 длины первого звена
Ответ от учителя
Для решения задачи нужно использовать формулу длины ломаной:
L = √((x2 — x1)² + (y2 — y1)²) + √((x3 — x2)² + (y3 — y2)²) + √((x4 — x3)² + (y4 — y3)²) + …
где L — длина ломаной, x1, y1 — координаты начальной точки, x2, y2 — координаты второй точки, x3, y3 — координаты третьей точки и т.д.
В данном случае у нас три звена, поэтому формула упрощается:
L = √((x2 — x1)² + (y2 — y1)²) + √((x3 — x2)² + (y3 — y2)²) + √((x4 — x3)² + (y4 — y3)²)
Заменим координаты на длины звеньев:
L = √(15² + y²) + √((1/5 * 15)² + y²) + √(z² + y²)
где y — длина второго звена, z — длина третьего звена.
Также из условия задачи известно, что сумма длин всех звеньев равна 370 см:
15 + y + z = 370
Выразим y из этого уравнения:
y = 370 — 15 — z = 355 — z
Подставим это выражение в формулу для длины ломаной:
L = √(15² + (355 — z)²) + √((1/5 * 15)² + (355 — z)²) + √(z² + (355 — z)²)
Упростим выражение под корнем:
√(15² + (355 — z)²) = √(225 + 71025 — 710z + z²) = √(71250 — 710z + z²)
√((1/5 * 15)² + (355 — z)²) = √(9 + 71025 — 710z + z²) = √(71034 — 710z + z²)
√(z² + (355 — z)²) = √(71025 — 710z + 2z²)
Подставим эти выражения в формулу для длины ломаной:
L = √(71250 — 710z + z²) + √(71034 — 710z + z²) + √(71025 — 710z + 2z²)
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти минимальное значение длины ломаной:
L’ = -710/2√(71250 — 710z + z²) — 710/2√(71034 — 710z + z²) — 710/2√(71025 — 710z + 2z²) + (1420z — 710) / 2√(71250 — 710z + z²) + (1420z — 710) / 2√(71034 — 710z + z²) + (1420z — 1420) / 2√(71025 — 710z + 2z²) = 0
Решив это уравнение, получим значение z, которое равно длине третьего звена ломаной:
z = 25 см
Таким образом, длина третьего звена ломаной равна 25 см.
