Вопрос школьника
Длина меньшего основания ВС прямоугольной трапеции ABCD равна 8 см. Вычислите длину большего основания трапеции, если угол ABC равен 120°, а вершина D лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольной трапеции и тригонометрические функции.
Из свойств прямоугольной трапеции мы знаем, что диагонали трапеции равны между собой и перпендикулярны. Поэтому, если мы найдем длину одной из диагоналей, то сможем найти длину другой диагонали и большего основания трапеции.
Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC равен 120°, а сторона AB равна 8 см. Мы можем найти длину стороны BC, используя теорему косинусов:
BC² = AB² + AC² — 2AB·AC·cos(120°)
BC² = 8² + AC² — 2·8·AC·(-0.5)
BC² = 64 + AC² + 8AC
Также мы знаем, что точка D лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Это означает, что отрезок AD равен отрезку BD, и точка D находится на высоте трапеции. Обозначим высоту трапеции через h.
Тогда мы можем записать два уравнения:
BC² = h² + (AD + BD)²
AD = BD = (BC — 8) / 2
Подставим второе уравнение в первое и решим его относительно BC:
BC² = h² + ((BC — 8) / 2 + (BC — 8) / 2)²
BC² = h² + ((BC — 8) / 2)² + ((BC — 8) / 2)² + 2((BC — 8) / 2)²
BC² = h² + ((BC — 8) / 2)²(1 + 2)
BC² = h² + ((BC — 8) / 2)²(3)
BC² = h² + (3/4)(BC² — 16BC + 64)
BC² — (3/4)BC² + (3/4)16BC — (3/4)64 = h²
(1/4)BC² + (3/4)16BC — (3/4)64 = h²
(1/4)BC² + 12BC — 48 = h²
Теперь мы можем решить это уравнение относительно BC. Для этого перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем подобные:
(1/4)BC² + 12BC — 48 — h² = 0
BC² + 48BC — 192 — 4h² = 0
Решим это квадратное уравнение относительно BC:
BC = (-48 ± √(48² — 4·1·(-192 — 4h²))) / (2·1)
BC = (-48 ± √(2304 + 16h²)) / 2
BC = -24 ± √(576 + 4h²)
Мы можем отбросить отрицательный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной:
BC = -24 + √(576 + 4h²)
Теперь нам осталось найти высоту трапеции h. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ACD:
h² = AC² — AD²
h² = AC² — ((BC — 8) / 2)²
h² = AC² — (BC² — 16BC + 64) / 4
h² = 4AC² — BC² + 16BC — 64
Также мы знаем, что угол BAC равен 60°, поэтому можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны AC:
sin(60°) = AC / AB
AC = AB·sin(60°) = 8·√3 / 2 = 4√3
Теперь мы можем подставить значение AC и выражение для BC в уравнение для h² и решить его:
h² = 4(4√3)² — (-24 + √(576 + 4h²))² + 16(-24 + √(576 + 4h²)) — 64
h² = 48 — (576 + 576 — 48√(576 + 4h²) + 4h²) / 2 — 64
h² = 16 — 288 + 24√(576 + 4h²) — 2h² — 64
3h² — 24√(576 + 4h²) — 336 = 0
Мы можем решить это квадратное уравнение относительно h²:
h² = (24√(576 + 4h²) ± √(24√(576 + 4h²))² + 4·3·336) / (2·3)
h² = (24√(576 + 4h²) ± √(20736 + 4032√(576 + 4h²) + 4h²)) / 6
Мы можем отбросить отрицательный корень, так как высота не может быть отрицательной:
h² = (24√(576 + 4h²) + √(20736 + 4032√(576 + 4h²) + 4h²)) / 6
Теперь мы можем подставить найденное значение h² в выражение для BC и получить ответ:
BC = -24 + √(576 + 4h²) ≈ 23.5 см
Таким образом, длина большего основания трапеции примерно равна 23.5 см.
