Вопрос школьника
Длина одной из сторон параллелограмма на 4 см больше длины другой. Вычислите периметр параллелограмма, если одна из его диагоналей образует со сторонами параллелограмма углы, градусные меры которых равны 30° и 45°.
Ответ от учителя
Пусть сторона параллелограмма, длина которой больше на 4 см, равна x, тогда другая сторона будет равна x — 4.
Пусть диагональ параллелограмма, образующая угол 30° с одной из сторон, равна d1, а диагональ, образующая угол 45° с этой же стороной, равна d2.
Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то мы можем выразить каждую из диагоналей через стороны параллелограмма:
d1 = √(x² + (x — 4)²)
d2 = √((x — 4)² + x²)
Теперь мы можем выразить периметр параллелограмма через стороны:
P = 2(x + x — 4) = 4x — 8
Осталось найти значение x.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного одной из сторон параллелограмма и диагоналями:
d1² = x² + (x — 4)² — 2x(x — 4)cos(30°)
d2² = (x — 4)² + x² — 2(x — 4)xcos(45°)
Раскроем косинусы:
d1² = x² + (x — 4)² — 2x(x — 4)√3/2
d2² = (x — 4)² + x² — 2(x — 4)x/√2
Сложим эти выражения и приведем подобные слагаемые:
2x² — 8x + 32 = x² + 2x² — 8x + 32 — 4(x — 4)x/√2 — 3x(x — 4)√3
3x² — 4(x — 4)x/√2 — 3x(x — 4)√3 = 0
Разложим на множители:
x(3x — 4(x — 4)/√2 — 3(x — 4)√3) = 0
x(3x — 4x/√2 + 16/√2 — 3x√3 + 12√3) = 0
x(3 — 2/√2 — 3√3) = 0
Так как x не может быть равен нулю, то решением уравнения будет:
x = (2 + 3√3 + √2)/3
Подставляем это значение в формулу для периметра:
P = 4((2 + 3√3 + √2)/3 — 2) ≈ 8.5 см
Ответ: периметр параллелограмма равен примерно 8.5 см.
