Вопрос школьника
Длина одной из сторон треугольника на 2 см меньше длины другой. Вычислите длину окружности, вписанной в треугольник, если высота делит третью сторону на отрезки, длины которых равны 5 см и 9 см.
Ответ от учителя
Пусть стороны треугольника имеют длины a, b и c, где a < b. Тогда, согласно условию, b = a + 2. Пусть r - радиус вписанной окружности, h - высота треугольника, проведенная к стороне c. Тогда, по определению, r - расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника. Так как высота h делит сторону c на отрезки длины 5 и 9, то можно записать: c = 5 + 9 = 14 и h^2 = a*9 = b*5 Так как b = a + 2, то h^2 = a*9 = (a+2)*5 = 5a + 10 Отсюда получаем уравнение: 4a = 10 a = 2.5 Тогда b = a + 2 = 4.5 и c = 14 - a - b = 7. Теперь можно вычислить радиус вписанной окружности, используя формулу: r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a+b+c)/2. Подставляя значения a, b и c, получаем: p = (2.5 + 4.5 + 7) / 2 = 7 S = sqrt(7(7-2.5)(7-4.5)(7-7)) = sqrt(3.9375) ≈ 1.984 Тогда радиус вписанной окружности: r = 1.984 / 7 ≈ 0.2834 Наконец, длина окружности, вписанной в треугольник, равна: L = 2πr ≈ 1.779 см.
