Вопрос школьника
Длина окружности, описанной около правильного многоугольника, в 2√3/3 раз больше длины окружности, вписанной в этот многоугольник. Найдите площадь многоугольника, если его периметр равен 6 см.
Ответ от учителя
Пусть n — количество сторон правильного многоугольника, r — радиус описанной окружности, R — радиус вписанной окружности, P — периметр многоугольника, S — его площадь.
Тогда длина описанной окружности равна 2πr, а длина вписанной окружности равна 2πR. По условию задачи:
2πr = (2√3/3) * 2πR
r = (√3/3) * R
Также из геометрических соображений можно выразить R через P и n:
R = P/(2n*tan(π/n))
r = (√3/3) * P/(2n*tan(π/n))
Теперь найдем площадь многоугольника через R:
S = (n/2) * R^2 * sin(2π/n)
S = (n/2) * (P/(2n*tan(π/n)))^2 * sin(2π/n)
S = P^2/(8n*tan(π/n)) * sin(2π/n)
Подставим выражение для r:
S = P^2/(32π*tan(π/n)) * sin(2π/n) * (√3/3)^2
S = P^2/(96π*tan(π/n)) * sin(2π/n)
Теперь подставим данные из условия задачи: P = 6 см, 2πr = (2√3/3) * 2πR
r = (√3/3) * R
Получим систему уравнений:
P = 6 см
2πr = (2√3/3) * 2πR
r = (√3/3) * R
Решив ее, получим:
r = (√3/6) * P
R = (√3/3) * P/(2tan(π/n))
Подставим в формулу для S:
S = P^2/(96π*tan(π/n)) * sin(2π/n)
S = (36/96π) * P^2/(tan(π/n) * sin(2π/n))
S = (3/8π) * P^2/(tan(π/n) * sin(2π/n))
Теперь осталось найти n. Из формулы для P:
P = n * a
где a — длина стороны многоугольника. Так как P = 6 см, то a = 6/n. Подставим в формулу для R:
R = (√3/3) * P/(2tan(π/n))
R = (√3/3) * 3/n * 1/(2tan(π/n))
R = (√3/6) * 1/(tan(π/n))
Теперь подставим r и R в условие задачи:
2πr = (2√3/3) * 2πR
2π * (√3/6) * P/n = (2√3/3) * 2π * (√3/6) * 1/(tan(π/n))
P/n = 2/(tan(π/n))
6/n = 2/(tan(π/n))
tan(π/n) = 3
π/n = arctan(3)
n = π/arctan(3)
Подставим n в формулу для S:
S = (3/8π) * P^2/(tan(π/n) * sin(2π/n))
S = (3/8π) * (6/n)^2/(tan(π/arctan(3)) * sin(2π/π * arctan(3)))
S = (27/4) * (1 + 3^(-2/3) + 3^(2/3)) см^2
Ответ: площадь многоугольника равна (27/4) * (1 + 3^(-2/3) + 3^(2/3)) см^2.
