Вопрос школьника
Длина окружности, вписанной в квадрат, равна l. Найдите длину окружности, описанной около этого квадрата
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно знать, что окружность, вписанная в квадрат, касается каждой стороны квадрата в ее середине. Также мы знаем, что длина окружности, вписанной в квадрат, равна l.
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, то есть r = a/2. Длина окружности, описанной около квадрата, равна длине стороны квадрата, умноженной на число π, то есть 2πr = 2π(a/2) = πa.
Таким образом, длина окружности, описанной около квадрата, равна πa. Но мы не знаем значение стороны квадрата, поэтому не можем точно вычислить длину описанной окружности. Однако мы можем выразить ее через длину вписанной окружности, используя соотношение между длинами окружностей, вписанных и описанных около правильного многоугольника:
l = 2πr, где r — радиус вписанной окружности
L = 2πR, где R — радиус описанной окружности
Для квадрата эти формулы принимают вид:
l = 4r, где r = a/2 — радиус вписанной окружности
L = 2√2r, где r = a/2 — радиус описанной окружности
Из первого уравнения следует, что r = l/4. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем:
L = 2√2(l/4) = √2l
Таким образом, длина окружности, описанной около квадрата, равна √2l.
