Вопрос школьника
Длина основания равнобедренного треугольника равна 4√2 см, а длина медианы боковой стороны — 5 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник
Ответ от учителя
Для начала, найдем высоту равнобедренного треугольника, опущенную на основание. Так как треугольник равнобедренный, то высота является медианой и делит основание на две равные части. Значит, мы можем разделить основание на две части по 2√2 см каждая. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту:
(2√2)^2 + h^2 = (4√2)^2
8 + h^2 = 64
h^2 = 56
h = 2√14 см
Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу S = 1/2 * a * h, где a — основание, h — высота:
S = 1/2 * 4√2 * 2√14
S = 4√28 см^2
Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к боковой стороне, является биссектрисой угла при вершине. Значит, она делит боковую сторону на две отрезка, пропорциональных смежным сторонам треугольника. Пусть эти отрезки равны x и y, тогда:
x/y = (a/2)/(a/2) = 1
Так как медиана равна 5 см, то:
x + y = 10
Решая систему уравнений, получаем:
x = y = 5
Теперь мы можем найти полупериметр треугольника:
p = (a + 2x)/2 = (4√2 + 2*5)/2 = 4√2 + 5
Наконец, мы можем найти радиус вписанной окружности, используя формулу:
r = S/p = (4√28)/(4√2 + 5) = √7 — 2 см
Ответ: радиус вписанной окружности равен √7 — 2 см.
