Вопрос школьника
Длина средней линии равнобедренной трапеции равна 20 см, а ее высота — 15 см. Вычислите длины диагонали и боковой стороны трапеции, если длины ее оснований относятся как 3:7.
Ответ от учителя
Для начала найдем длины оснований трапеции. Пусть x — длина меньшего основания, тогда большее основание будет равно 7x/3. Так как сумма длин оснований равна длине средней линии, то получаем уравнение:
x + 7x/3 = 20
Упрощаем:
10x/3 = 20
x = 6
Таким образом, меньшее основание равно 6 см, а большее — 14 см.
Далее, найдем длину диагонали трапеции. Обозначим ее через d. Разделим трапецию на два треугольника, один из которых прямоугольный. Высота этого треугольника равна 15 см, а катеты — половинам оснований, то есть 3 и 7 см. Используя теорему Пифагора, находим длину гипотенузы:
d^2 = 3^2 + 15^2
d^2 = 234
d ≈ 15,3 см
Наконец, найдем длину боковой стороны трапеции. Обозначим ее через a. Разделим трапецию на два треугольника, один из которых равнобедренный. Высота этого треугольника равна 15 см, а основание — половине разности оснований трапеции, то есть (7x/3 — x)/2 = 2x/3. Используя теорему Пифагора, находим длину боковой стороны:
a^2 = 15^2 + (2x/3)^2
a^2 = 225 + 4x^2/9
Подставляем значение x:
a^2 = 225 + 4*6^2/9
a^2 = 261
a ≈ 16,1 см
Таким образом, длина диагонали трапеции равна примерно 15,3 см, а длина боковой стороны — примерно 16,1 см.
