Вопрос школьника
Длина средней линии равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна 5 см. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых, равно 7:13. Вычислите высоту трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а высота равна $h$. Так как в трапеции вписана окружность, то ее радиус равен половине суммы оснований: $r = frac{a+b}{2}$. Также известно, что длина средней линии равна $5$ см, то есть $frac{a+b}{2} = 5$, откуда $a+b=10$.
Площадь трапеции можно выразить через ее основания и высоту: $S = frac{(a+b)h}{2}$. Так как средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно $7:13$, то можно записать систему уравнений:
$$begin{cases}
frac{7}{20}S = frac{1}{2}(a_1+b_1)cdotfrac{h}{2}\
frac{13}{20}S = frac{1}{2}(a_2+b_2)cdotfrac{h}{2}\
end{cases}$$
где $a_1$ и $b_1$ — основания первой части трапеции, $a_2$ и $b_2$ — основания второй части трапеции. Заметим, что $a_1+b_1 = a_2+b_2 = 5$, так как средняя линия делит трапецию на две равные части.
Решая систему уравнений, получаем:
$$begin{cases}
a_1+b_1 = 5\
a_2+b_2 = 5\
frac{7}{20}S = frac{1}{2}(a_1+b_1)cdotfrac{h}{2}\
frac{13}{20}S = frac{1}{2}(a_2+b_2)cdotfrac{h}{2}\
end{cases} Rightarrow
begin{cases}
a_1 = frac{5}{2}-frac{h}{4}\
b_1 = frac{5}{2}+frac{h}{4}\
a_2 = frac{5}{2}+frac{h}{4}\
b_2 = frac{5}{2}-frac{h}{4}\
end{cases}$$
Подставляя найденные значения $a_1$, $b_1$, $a_2$ и $b_2$ в выражение для площади трапеции, получаем:
$$S = frac{(a+b)h}{2} = frac{(a_1+b_1+a_2+b_2)h}{2} = frac{5h}{2}$$
Таким образом, $h = frac{2S}{5} = frac{2}{5}cdotfrac{7}{20}S+frac{2}{5}cdotfrac{13}{20}S = frac{39}{50}S$. Из условия задачи известно, что длина средней линии равна $5$ см, то есть $frac{a+b}{2} = 5$, откуда $a+b=10$. Таким образом, площадь трапеции равна $S = frac{(a+b)h}{2} = frac{10cdotfrac{39}{50}S}{2}$, откуда $S = frac{100}{61}$. Подставляя найденное значение $S$ в выражение для высоты, получаем:
$$h = frac{39}{50}S = frac{39}{50}cdotfrac{100}{61} = frac{195}{122}approx 1.6text{ см}$$
Ответ: высота равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна $frac{195}{122}approx 1.6$ см.
