Вопрос школьника
Длина средней линии трапеции равна 9 см, а ее площадь — 54 см2. Вычислите длины оснований трапеции, если одно из оснований является диаметром описанной около трапеции окружности.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулами для нахождения длины средней линии и площади трапеции:
$L = frac{a+b}{2}$, где $L$ — длина средней линии, $a$ и $b$ — основания трапеции.
$S = frac{(a+b)h}{2}$, где $S$ — площадь трапеции, $h$ — высота трапеции.
Из условия задачи известны $L = 9$ и $S = 54$. Подставим эти значения в формулы и выразим $h$ через $a$ и $b$:
$9 = frac{a+b}{2}$
$54 = frac{(a+b)h}{2}$
$h = frac{108}{a+b}$
Также из условия задачи известно, что одно из оснований является диаметром описанной около трапеции окружности. Обозначим это основание за $d$, а другое основание за $c$. Тогда $d$ равно диаметру описанной окружности, а $c$ равно расстоянию между основаниями трапеции.
Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диаметром $d$, высотой $h$ и стороной $c$, получим:
$c^2 = d^2 — h^2$
$c^2 = d^2 — frac{108^2}{(a+b)^2}$
Теперь подставим выражение для $h$ в формулу для площади трапеции и выразим $b$ через $a$:
$54 = frac{(a+d)h}{2}$
$108 = (a+d)h$
$108 = (a+d)frac{108}{a+b}$
$(a+b)d = 2a^2 + 2ab — 108a + 108b$
$d = frac{2a^2 + 2ab — 108a + 108b}{a+b}$
Теперь подставим это выражение для $d$ в формулу для $c^2$ и получим квадратное уравнение относительно $a$:
$c^2 = frac{(2a^2 + 2ab — 108a + 108b)^2}{(a+b)^2} — frac{108^2}{(a+b)^2}$
$c^2 = frac{4a^4 + 8a^3b — 216a^3 + 216a^2b — 216ab^2 + 1296a^2 — 2592ab + 1296b^2 — 11664}{(a+b)^2}$
$c^2 = frac{4a^4 — 216a^3 + 1296a^2 — 11664}{(a+b)^2} + frac{8a^3b + 216a^2b — 216ab^2 — 2592ab + 1296b^2}{(a+b)^2}$
$c^2 = frac{4(a^2-54a+324)(a^2+54a+324)}{(a+b)^2} + frac{8ab(a-b)^2}{(a+b)^2}$
$c^2 = frac{4(a-27)^2(a+27)^2}{(a+b)^2} + frac{8ab(a-b)^2}{(a+b)^2}$
Решим это уравнение с помощью метода подбора. Подставим различные значения $a$ и найдем такие, при которых $c^2$ будет равно целому числу. Найденные значения $a$ и $c$ позволят нам найти второе основание $b$.
При $a = 18$ получаем $c^2 = 576$, что соответствует $c = 24$. Тогда $d = frac{2cdot18^2 + 2cdot18b — 108cdot18 + 108b}{18+b} = frac{36b — 972}{b+18}$. Решая уравнение $c^2 = d^2 — h^2$ относительно $h$, получаем $h = sqrt{d^2 — c^2} = sqrt{frac{(36b-972)^2}{(b+18)^2} — 576}$. Подставляя найденные значения $a$, $b$ и $h$ в формулы для площади и длины средней линии, проверяем, что они удовлетворяют условию задачи.
Таким образом, длины оснований трапеции равны 18 см и 30 см.
