Вопрос школьника
Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а ее высота — 4 см. Вычислите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что в правильной четырехугольной пирамиде боковые грани являются равнобедренными треугольниками, а высота пирамиды проходит через вершину пирамиды и середину основания.
Рассмотрим плоскость, проходящую через высоту пирамиды и середину одной из боковых граней. Эта плоскость делит пирамиду на две части: верхнюю пирамиду и нижний усеченный тетраэдр. Радиус вписанной сферы будет равен расстоянию от центра этой сферы до плоскости, проходящей через середину боковой грани.
Для нахождения этого расстояния воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим правильный треугольник, образованный половиной боковой грани, высотой пирамиды и радиусом вписанной сферы. Этот треугольник является прямоугольным, так как высота пирамиды проходит через середину основания. Поэтому мы можем записать:
$$(frac{6}{2})^2 + 4^2 = r^2$$
где $r$ — радиус вписанной сферы.
Упрощая выражение, получаем:
$$9 + 16 = r^2$$
$$r^2 = 25$$
$$r = 5$$
Таким образом, радиус вписанной сферы равен 5 см.
