Вопрос школьника
Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь сферы, описанной около пирамиды.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится найти высоту пирамиды и радиус описанной сферы.
Высота пирамиды может быть найдена с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, половиной основания и высотой пирамиды. Таким образом, высота равна:
h = √(a² — (a/2)²) = √(3/4 a²) = (√3/2) a
Радиус описанной сферы равен половине диагонали основания пирамиды. Диагональ основания может быть найдена с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, боковым ребром и диагональю. Таким образом, диагональ равна:
d = √(a² + 4h²) = √(a² + 3a²) = √(4a²) = 2a
Радиус описанной сферы равен половине диагонали, то есть:
R = a
Теперь мы можем найти площадь сферы, используя формулу:
S = 4πR² = 4πa²
Таким образом, площадь сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с основанием длины a и боковыми ребрами, наклоненными к плоскости основания под углом 30°, равна 4πa².
