Вопрос школьника
Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна a, а длина бокового ребра — b. Через точку, делящую боковое ребро в отношении 1 : 3 (считая от вершины пирамиды), проведено сечение, параллельное боковой грани. Найдите площадь этого сечения.
Ответ от учителя
Пусть высота пирамиды равна h. Тогда, по теореме Пифагора, длина бокового ребра равна $sqrt{a^2+h^2}$. Также из условия задачи следует, что длина отрезка, который делит боковое ребро в отношении 1:3, равна $frac{1}{4}b$.
Рассмотрим треугольник, образованный сечением и боковым ребром. Этот треугольник является прямоугольным, так как сечение параллельно боковой грани. Пусть $x$ — длина отрезка, который делит боковое ребро в отношении 1:3. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
$$left(frac{1}{4}bright)^2 + x^2 = left(sqrt{a^2+h^2}right)^2 = a^2 + h^2$$
$$x^2 = a^2 + h^2 — left(frac{1}{4}bright)^2$$
$$x = sqrt{a^2 + h^2 — left(frac{1}{4}bright)^2}$$
Таким образом, мы нашли длину отрезка, который делит боковое ребро в отношении 1:3. Осталось найти площадь треугольника, образованного сечением и боковым ребром. Эта площадь равна:
$$S = frac{1}{2} cdot x cdot frac{1}{4}b = frac{1}{8}bx = frac{1}{8}bsqrt{a^2 + h^2 — left(frac{1}{4}bright)^2}$$
Осталось выразить высоту пирамиды через известные величины. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, боковым ребром и половиной основания. Этот треугольник является прямоугольным, так как боковое ребро перпендикулярно основанию. По теореме Пифагора, получаем:
$$left(frac{1}{2}aright)^2 + h^2 = left(sqrt{a^2+h^2}right)^2 = b^2$$
$$h^2 = b^2 — left(frac{1}{2}aright)^2$$
$$h = sqrt{b^2 — left(frac{1}{2}aright)^2}$$
Теперь мы можем выразить площадь сечения через известные величины:
$$S = frac{1}{8}bsqrt{a^2 + left(b^2 — left(frac{1}{2}aright)^2right) — left(frac{1}{4}bright)^2}$$
$$S = frac{1}{8}bsqrt{3a^2 — frac{3}{16}b^2}$$
Ответ: $S = frac{1}{8}bsqrt{3a^2 — frac{3}{16}b^2}$.
