Вопрос школьника
Длина стороны основания правильной треугольной призмы равна а, а длина бокового ребра — b. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра.
Ответ от учителя
Пусть ABC — правильный треугольник, сторона которого равна а. Тогда высота этого треугольника равна h = a√3/2.
Пусть M — середина бокового ребра. Тогда AM = MB = b/2.
Плоскость, проходящая через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, делит призму на две части, каждая из которых является пирамидой.
Рассмотрим одну из этих пирамид. Ее основание — треугольник ABC, а высота равна AM = MB = b/2.
Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равна площади основания пирамиды, умноженной на косинус угла между боковым ребром и плоскостью сечения.
Площадь основания пирамиды равна S = (a^2√3)/4.
Косинус угла между боковым ребром и плоскостью сечения можно найти, используя теорему косинусов для треугольника AMB:
cos(угол AMB) = (AM^2 + MB^2 — AB^2) / (2 * AM * MB) = (b^2/2 — a^2/4) / (b^2/2) = 1 — a^2/(2b^2)
Таким образом, площадь сечения призмы равна:
S’ = S * cos(угол AMB) = (a^2√3/4) * (1 — a^2/(2b^2)) = a^2√3/4 — a^2√3/(8b^2)
Ответ: S’ = a^2√3/4 — a^2√3/(8b^2).
