Вопрос школьника
Длина стороны основания равнобедренного треугольника равна 2√3 см, а градусная мера угла при основании равна 30°. Вычислите длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около треугольника.
Ответ от учителя
Для начала найдем высоту равнобедренного треугольника. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя высоту из вершины до основания. Так как угол при основании равен 30°, то угол в вершине равен 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и половиной основания, угол при основании равен 15° (так как сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°). Таким образом, мы знаем, что тангенс угла 15° равен отношению высоты к половине основания:
tg(15°) = h / (2√3 / 2)
tg(15°) = h / √3
h = √3 * tg(15°) * 2√3 / 2
h = 3 * tg(15°)
h ≈ 0,87 см
Теперь мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу:
R = a / (2 * sin(угол при основании))
R = 2√3 / (2 * sin(30°))
R = 2√3 / 1
R = 2√3 см
Так как треугольник равнобедренный, то вершины делят окружность на три равные дуги. Для нахождения длины одной дуги мы можем воспользоваться формулой длины дуги:
L = α * R
где α — градусная мера угла, соответствующего дуге.
Так как вершины делят окружность на три равные дуги, то каждая дуга равна 360° / 3 = 120°. Тогда длина одной дуги равна:
L = 120° * 2√3 см
L = 240√3 / π см
L ≈ 77,25 см
Таким образом, длины дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около треугольника, равны примерно 77,25 см.
