Вопрос школьника
Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна а. Точки Т, F и Е лежат на сторонах АВ, ВС и АС соответственно так, что AT : ТВ = 1:2, BF : FC = 1 : 2 и СЕ : ЕА = 1:2. Докажите, что треугольник TFE — равносторонний, и найдите площадь круга, описанного около него.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки T, F и E делят стороны треугольника ABC на отрезки в отношении 1:2, то есть AT = TB, BF = FC и CE = EA.
Рассмотрим треугольник TFE. Так как AT = TB, то угол ATF равен углу BTF (они соответственно лежат на равных дугах окружности, описанной вокруг треугольника ABT). Аналогично, угол BTF равен углу CTF, а угол CTF равен углу ETF. Таким образом, все углы треугольника TFE равны между собой, то есть он является равносторонним.
Чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника TFE, нужно найти радиус этого круга. Радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника TFE, то есть равен a/2 (так как TFE — равносторонний треугольник со стороной a). Таким образом, площадь круга равна π(a/2)^2 = πa^2/4. Ответ: площадь круга, описанного около треугольника TFE, равна πa^2/4.
