Вопрос школьника
Длина ветки равна 2 м. В начале ветки сидит червяк. За первую минуту он проползает 1 м, за следующую — 1/2 м, в течение следующей —1/4 м и так далее, т. е. за каждую следующую минуту он проползает в два раза меньше, чем за предыдущую. Доберётся ли когда-нибудь червяк до конца ветки?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться бесконечной геометрической прогрессией, где первый член равен 1 м, а знаменатель равен 1/2. Тогда общий член прогрессии будет равен:
a_n = a_1 * q^(n-1) = 1 * (1/2)^(n-1)
где n — номер члена прогрессии.
Таким образом, червяк проползет суммарное расстояние:
S = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n
S = 1 + 1/2 + 1/4 + … + (1/2)^(n-1)
Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которую можно вычислить по формуле:
S = a_1 / (1 — q) = 1 / (1 — 1/2) = 2 м
Таким образом, червяк доберется до конца ветки за бесконечное количество времени, но суммарное расстояние, которое он проползет, будет равно 2 м.
